Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），對任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）證明：當x≥0時，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若對滿足題設條件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）≤f（x）轉化為x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之間的關系，再對f（x）和（x+c）²作差整理成關于b和c的表達式即可．
（Ⅱ）對c≥|b|分c＞|b|和c=|b|兩種情況分別求出對應的M的取值范圍，再綜合求M的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由題設，對任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，從而c≥

b2

4

+1．
于是c≥1，且c≥2

b2 4 ×1

=|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故當x≥0時，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即當x≥0時，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
當c＞|b|時，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc- b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

則-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

t+1

，
而函數g（t）=2-

1

t+1

（-1＜t＜1）的值域（-∞，

3

2

）
因此，當c≥|b|時M的取值集合為[

3

2

，+∞）．
當c=|b|時，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此時f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
從而f(c)-f(b)≤

3

2

(c2-b2)恒成立．
綜上所述，M的最小值為

3

2

點評：本題是對二次函數的恒成立問題和導函數的求法的綜合考查．二次函數的恒成立問題一般分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．