Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點,O為坐標原點．

(1) 如果直線過拋物線的焦點且斜率為1，求的值；

（2）如果，證明：直線必過一定點，并求出該定點.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據拋物線的方程得到焦點的坐標，設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，求出弦長；

（Ⅱ）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于﹣4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

試題解析：

(1)解, 　,

(2)證明　由題意：拋物線焦點為(1,0)，設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，

∴直線l過定點(2,0)．∴若·＝－4，則直線l必過一定點．