Question

15、過原點作曲線y=e^x的切線，則切點的坐標為

（1，e）

，切線的斜率為

e

．

Answer 1

分析：欲求切點的坐標，先設切點的坐標為（${x_0}，{e^{x_0}}）$，，再求出在點切點（${x_0}，{e^{x_0}}）$處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=x₀處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點即可解決問題．

解答：解：y′=e^x
設切點的坐標為（x₀，e^x₀），切線的斜率為k，
則k=e^x₀，故切線方程為y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
又切線過原點，∴-e^x₀=e^x₀（-x₀），∴x₀=1，y₀=e，k=e．
故答案為：（1，e）；e．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．