Question

已知函數f(x)=ax-

1

x

-lnx，a∈R，x∈[

1

2

，2]．
（1）當a=-2時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）+lnx]•x²，k是g（x）圖象上不同的兩點的連線的斜率，是否存在實數a，使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時，求導函數，確定f（x）在區間[

1

2

，2]上單調遞減，從而可求f（x）的最大值；
（2）存在a∈(-∞，

1

6

)符合條件．
解法一：據題意存在k=

y1-y2

x1-x2

=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=g′(x0)=3ax02-1＜1，分離參數，可得結論；
解法二：據題意存在k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

x1-x2

=

a(x13-x23)-(x1-x2)

x1-x2

=a(x12+x22+x1x2)-1＜1，分離參數，可得結論．

解答：解：f（x）的定義域為[

1

2

，2]，f′(x)=a+

1

x2

-

1

x

…（2分）
（1）當a=-2時，在x∈[

1

2

，2]，f′(x)=-

(2x-1)(x+1)

x2

≤0，…（4分）
所以f（x）在區間[

1

2

，2]上單調遞減，…（6分）
故f(x)max=f(

1

2

)=ln2-3．                                …（7分）
（2）存在a∈(-∞，

1

6

)符合條件．
解法一：據題意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x圖象上總可以找到一點P₀（x₀，y₀）使以p為切點的切線平行圖象上的任意兩點的連線，…（9分）
即存在k=

y1-y2

x1-x2

=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=g′(x0)=3ax02-1＜1恒成立，…（12分）
因為x0∈[

1

2

，2]，所以x02∈[

1

4

，4]，所以a＜(

2

3x02

)min=

1

6

…（14分）
故存在a∈(-∞，

1

6

)符合條件．                               …（15分）
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x²=ax³-x，不妨設任意不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）其中x₁＜x₂，則k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

x1-x2

=

a(x13-x23)-(x1-x2)

x1-x2

=a(x12+x22+x1x2)-1＜1…（10分）
由于k＜1恒成立，則k＜3ax22-1＜1恒成立，知a＜

2

3x2

恒成立…（12分）
因為x2∈[

1

2

，2]，所以x22∈[

1

4

，4]，故a＜(

2

3x2

)min=

1

6

，…（14分）
故存在a∈(-∞，

1

6

)符合條件．                           …（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，屬于中檔題．