Question

（文）已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，其定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（Ⅱ）試判斷m，n的大小并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，求其導數f′（x），根據導數求其單調區間，從而確定t的范圍；
（Ⅱ）由f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值，算出來，根據f（-2）=m，f（t）=n．進行判斷；

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=x（x-1）
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減
要使f（x）在[-2，t]上為單調函數，則-2＜t≤0
（Ⅱ）n＞m．
因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，
在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值-

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6

，
又f(-2)=-

5

3

＜-

1

6

，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2）（8分）
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即m＜n

點評：此題主要考查利用導數求函數的極值及單調區間，此題的函數求導比較簡單，注意單調區間的書寫；