Question

如圖，已知A是橢圓上的一個動點，F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，弦AB過點F₂，當AB⊥x軸時，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經過一定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB⊥x軸時恰有|AF₁|=3|AF₂|．結合橢圓的定義，可得，進而求出橢圓的離心率；
（2）由（1）可設橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準線方程為x=2b，分AB⊥x軸時和AB斜率存在時兩種情況分別判斷F₂與MN為直徑的圓D的關系，即可得到答案．
解答：解：（1）由條件可得，
解得…．（3分）
證明：（2）由（1）可設橢圓方程為x²+2y²=2b²，其右準線方程為x=2b，
①當AB⊥x軸時，易得，
由三點共線可得M（2b，b），N（2b，-b）
則圓D的方程為（x-2b）（x-2b）+（y-b）（y+b）=0，
即（x-2b）²+y²=b²
易得圓過定點F₂（b，0）…（6分）
②當AB斜率存在時，設其方程為y=kx-kb，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線方程代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²bx+（2k²-2）b²=0∴，
故直線AP的方程為，
令x=2b得，同理可得…（9分）
∴，•=
所以F₂在以MN為直徑的圓D上，
綜上，以MN為直徑的圓D一定經過定點F₂（b，0）…．（13分）
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，橢圓的性質，圓的標準方程，綜合性強，難度較大．