Question

過拋物線C：

x

2

=2py(p＞0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A、B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線C上存在一點M，使得MA⊥MB，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，結合|AF|=2，即可求得拋物線的方程；
（2）直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及MA⊥MB，建立方程，即可求直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）∵|AF|=2，∴由拋物線的定義，可得1+

p

2

=2，∴p=2
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）拋物線C的焦點為F（0，1），設直線l的方程為y=kx+1，A（x1，

x 2 1

4

），B（x2，

x 2 2

4

），M（x0，

x 2 0

4

）
直線方程代入拋物線方程可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
∵MA⊥MB，∴

MA

•

MB

=0
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+(

x 2 1

4

-

x 2 0

4

)(

x 2 2

4

-

x 2 0

4

)=0
∵M不與A，B重合，∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）≠0
∴1+

1

16

（x₁+x₀）（x₂+x₀）=0
∴x₁x₂+（x₁+x₂）x₀+

x

2 0

-16=0
∴

x

2 0

+4kx0+12=0
∴△=16k²-48≥0
∴k≤-

3

或k≥

3

．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．