Question

【題目】如圖，、是離心率為的橢圓：的左、右焦點，過作軸的垂線交橢圓所得弦長為，設、是橢圓上的兩個動點，線段的中垂線與橢圓交于、兩點，線段的中點的橫坐標為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將代入橢圓方程，可得，再結合離心率為，聯立可求得，即可求出橢圓方程；

（2）結合的橫坐標為1，可表示出直線的方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理，可得到的表達式，進而求得的取值范圍.

（1）將代入橢圓方程得，則，即，

又離心率，即，所以，解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）設，，，若直線的斜率存在且不為0，設為，則，

兩式相減得，又，∴，直線的方程為，

即，與橢圓的方程聯立得，

則，，

故

，

將代入橢圓方程，得，所以，則，

故.

當直線的斜率為0時，不滿足的中點的橫坐標為1；

當直線的斜率不存在時，，即為橢圓的左右頂點，

故，

綜上所述，.