Question

設y=log_a

x-2

x+1

（a＞0，a≠1）的定義域為[s，t），值域為（log_a（at-a），log_a（as-a）]，
（1）求證：s＞2；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數真數部分必為正，可得使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意義的x的范圍，結合已知中函數的定義域，可得[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞），結合函數值域端點中對數式有意義可得[s，t）?（2，+∞），進而證得答案．
（2）根據（1）中結論，可分析出函數的單調性，進而判斷出底數的取值范圍，進而根據函數的定義域為值域構造出方程組，將其轉化為整式方程組后，構造函數，利用二次函數的圖象和性質可得答案．

解答：證明：（1）要使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意義，
則

x-2

x+1

＞0，即x＜-1，或x＞2
∴[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞）
又由as-a=a（s-1）＞0，可得s-1＞0，即s＞1
∴[s，t）?（2，+∞）
∴s＞2；
解：（2）∵s＜t
∴at-a＞as-a
又∵log_a（at-a）＜log_a（as-a），
∴0＜a＜1
又∵u=

x-2

x+1

在[s，t）上單調遞增
∴y=log_a

x-2

x+1

在[s，t）上單調遞減
∴

t-2 t+1 =at-a s-2 s+1 =as-a

即方程

x-2

x+1

=ax-a有兩個大于2的相異的根
即ax²-x+2-a=0有兩個大于2的相異的根
令h（x）=ax²-x+2-a
則

0＜a＜1 △=1-4a(2-a)＞0 h(2)=3a＞0 1 2a ＞2

解得0＜a＜

2- 3

2

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，復合函數的單調性，方程根與函數零點的關系，二次函數的圖象和性質，是函數問題比較綜合的應用．