Question

【題目】已知函數 ，且 ．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給予證明；
（3）求函數f（x）在區間[﹣5，﹣1]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得： ，

即：4m=4，解得：m=1

（2）解：函數f（x）在（0，+∞）上為減函數．

證明：設0＜x1＜x2，

則 = ；

∵0＜x1＜x2

∴ ，

即f（x2）﹣f（x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上為減函數

（3）解：由（1）知：函數 ，其定義域為{x|x≠0}．

∴ ，即函數f（x）為奇函數．

由（2）知：f（x）在[1，5]上為減函數，則函數f（x）在區間[﹣5，﹣1]上為減函數．

∴當x=﹣5時，f（x）取得最大值，最大值為 ；

當x=﹣1時，f（x）取得最小值，最小值為f（﹣1）=﹣2+1=﹣1

【解析】（1）由 代入可求m；（2）先設0＜x1＜x2 ， 利用作差可得 = ，根據已知判斷比較f（x2）與f（x1）即可；（3）由（1）知：函數 ，其定義域為{x|x≠0}．且可證函數f（x）為奇函數．結合（2）知f（x）在[1，5]上為減函數，則根據奇函數的性質可知函數f（x）在區間[﹣5，﹣1]上為減函數．結合函數單調性可求
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和奇偶性與單調性的綜合是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．