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已知函數.已知函數有兩個零點,且
(1)求的取值范圍;
(2)證明隨著的減小而增大;
(3)證明隨著的減小而增大.
(1)的取值范圍是;(2)詳見試題分析;(3)詳見試題分析.

試題分析:(1)先求函數的導數,再分討論的單調性,將“函數有兩個零點”等價轉化為如下條件同時成立:“1°;2°存在,滿足;3°存在,滿足”,解相應的不等式即可求得的取值范圍;(2)由分離出參數.利用導數討論的單調性即可得: ,從而;類似可得.又由,得,最終證得隨著的減小而增大;(3)由,可得,作差得.設,則,且解得,,可求得,構造函數,利用導數來證明隨著的減小而增大.
(1)由,可得.下面分兩種情況討論:
(1)時,上恒成立,可得上單調遞增,不合題意.
(2)時,由,得.當變化時,,的變化情況如下表:






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這時,的單調遞增區間是;單調遞減區間是A.
于是,“函數有兩個零點”等價于如下條件同時成立:
;2°存在,滿足;3°存在,滿足.由,即,解得,而此時,取,滿足,且;取,滿足,且.∴的取值范圍是
(2)由,有.設,由,知上單調遞增,在上單調遞減. 并且,當時,;當時,
由已知,滿足. 由,及的單調性,可得,.對于任意的,設,,其中,其中.∵上單調遞增,故由,即,可得;類似可得.又由,得.∴隨著的減小而增大.
(3)由,,可得,,故.設,則,且解得,
.   ①
,,則.令,得.當時,.因此,上單調遞增,故對于任意的,,由此可得,故上單調遞增,因此,由①可得隨著的增大而增大,而由(2),隨著的減小而增大,∴隨著的減小而增大.
練習冊系列答案
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