已知函數

.已知函數

有兩個零點

,且

.
(1)求

的取值范圍;
(2)證明

隨著

的減小而增大;
(3)證明

隨著

的減小而增大.
(1)

的取值范圍是

;(2)詳見試題分析;(3)詳見試題分析.
試題分析:(1)先求函數

的導數,再分

和

討論

的單調性,將“函數

有兩個零點”等價轉化為如下條件同時成立:“1°

;2°存在

,滿足

;3°存在

,滿足

”,解相應的不等式即可求得

的取值范圍;(2)由

分離出參數

:

.利用導數討論

的單調性即可得:

,從而

;類似可得

.又由

,得

,最終證得

隨著

的減小而增大;(3)由

,

,可得

,

,作差得

.設

,則

,且

解得

,

,可求得

,構造函數

,利用導數來證明

隨著

的減小而增大.
(1)由

,可得

.下面分兩種情況討論:
(1)

時,

在

上恒成立,可得

在

上單調遞增,不合題意.
(2)

時,由

,得

.當

變化時,

,

的變化情況如下表:
這時,

的單調遞增區間是

;單調遞減區間是

A.
于是,“函數

有兩個零點”等價于如下條件同時成立:
1°

;2°存在

,滿足

;3°存在

,滿足

.由

,即

,解得

,而此時,取

,滿足

,且

;取

,滿足

,且

.∴

的取值范圍是

.
(2)由

,有

.設

,由

,知

在

上單調遞增,在

上單調遞減. 并且,當

時,

;當

時,

.
由已知,

滿足

,

. 由

,及

的單調性,可得

,

.對于任意的

,設

,

,其中

,其中

.∵

在

上單調遞增,故由

,即

,可得

;類似可得

.又由

,得

.∴

隨著

的減小而增大.
(3)由

,

,可得

,

,故

.設

,則

,且

解得

,

.
∴

. ①
令

,

,則

.令

,得

.當

時,

.因此,

在

上單調遞增,故對于任意的

,

,由此可得

,故

在

上單調遞增,因此,由①可得

隨著

的增大而增大,而由(2),

隨著

的減小而增大,∴

隨著

的減小而增大.
練習冊系列答案
相關習題
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題型:解答題
已知函數

.
(1)若

是函數

的極值點,求曲線

在點

處的切線方程;
(2)若函數

在

上為單調增函數,求

的取值范圍.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
設函數

.
(1)當

(

為自然對數的底數)時,求

的最小值;
(2)討論函數

零點的個數;
(3)若對任意

恒成立,求

的取值范圍.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

(1)若

,求證:函數

在(1,+∞)上是增函數;
(2)當

時,求函數

在[1,e]上的最小值及相應的x值;
(3)若存在

[l,e],使得

成立,求實數

的取值范圍.
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科目:高中數學
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題型:填空題
任何一個三次函數

都有對稱中心.請你探究函數

,猜想它的對稱中心為_________.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

。
(1)當

時,①求函數

的單調區間;②求函數

的圖象在點

處的切線方程;
(2)若函數

既有極大值,又有極小值,且當

時,

恒成立,求

的取值范圍.
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數

,函數

的導函數

,且

,其中

為自然對數的底數.
(1)求

的極值;
(2)若

,使得不等式

成立,試求實數

的取值范圍;
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科目:高中數學
來源:不詳
題型:填空題
若曲線

上點

處的切線平行于直線

,則點

的坐標是________.
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