過拋物線的對稱軸上一點
的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向直線
作垂線,垂足分別為
、
。
(Ⅰ)當時,求證:
⊥
;
(Ⅱ)記、
、
的面積分別為
、
、
,是否存在
,使得對任意的
,都有
成立。若存在,求出
的值;若不存在,說明理由。
本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質等平面解析幾何的基礎知識,考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力。(14分)
解:依題意,可設直線MN的方程為,則有
由消去x可得
從而有 ①
于是 ②
又由,
可得
③
(Ⅰ)如圖1,當時,點
即為拋物線的焦點,
為其準線
此時 ①可得
證法1:
證法2:
(Ⅱ)存在,使得對任意的
,都有
成立,證明如下:
證法1:記直線與x軸的交點為
,則
。于是有
將①、②、③代入上式化簡可得
上式恒成立,即對任意成立
證法2:如圖2,連接,則由
可得
,所以直線
經過原點O,
同理可證直線也經過原點O
又設
則
(2)當
得對稱軸x=b位于區間
之外
此時
由
① 若
于是
② 若,則
,
于是
綜上,對任意的b、c都有
而當,時,
在區間
上的最大值
故對任意的b,c恒成立的k的最大值為
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A.共圓 B.共線
C.在另一拋物線上 D.分布無規律
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A.共圓 B.共線
C.在另一拋物線上 D.分布無規律
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A.共圓 B.共線 C.在另一拋物線上 D.分布無規律
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過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線,分別交準線于P、Q兩點,又過P、Q分別作拋物線對稱軸OF的平行線,交拋物線于M、N兩點,則M、N、F三點( )
A.共圓 B.共線 C.在另一拋物線上 D.分布無規律
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