Question

【題目】如圖所示，四面體中，是正三角形，是直角三角形，是的中點，且.

（1）求證：平面；

（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）首先利用三角形全等得到，推導出，利用勾股定理得到，由此能證明平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）如圖所示，

因為為等邊三角形，所以，

由，得，所以，

即為等腰直角三角形，從而為直角，

又為底邊中點，所以.

令，則，易得，

所以，從而，

又為平面內兩相交直線，

所以平面.

（2）由題意可知，即到平面的距離相等，

所以點為的中點，

以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系.

設，則，

易得.

設平面的法向量為，平面的法向量為，則

，取；，取，

設二面角的大小為，易知為銳角，

則，

所以二面角的余弦值為.