Question

已知函數f(x)=

sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

-

1-cosx

4sin2 x 2

（1）判斷函數f（x）的奇偶性．
（2）當x∈(

π

6

，

π

2

)時，求函數f（x）的值域．
（3）若

a

=(sinα，1)，

b

=(cosα，1)并且

a

∥

b

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：先把f（x）利用同角三角函數間的基本關系、二倍角公式等進行化簡，
（1）要判斷函數的奇偶性，方法是在函數的定義域內求出f（-x）如果等于-f（x）即為奇函數；如果等于f（x）即為偶函數；
（2）由x的范圍求出2x的范圍，由正弦函數的圖象得到sin2x范圍即可得到f（x）的值域；
（3）由兩個向量平行得到sinα-cosα=0，求出α的值，代入f（x）化簡可得f（α）的值即可．

解答：解：f(x)=-

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-sin2x

-

2sin2 x 2

4sin2 x 2

=

1- 1 4 sin22x

2-sin2x

-

1

2

=

(1- 1 2 sin2x)(1+ 1 2 sin2x)

2(1- 1 2 sin2x)

-

1

2

=

1

4

sin2x．
（1）因為函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠2kπ，k∈Z}，f（-x）=-f（x）所以函數f（x）為奇函數；
（2）當x∈(

π

6

，

π

2

)時，2x∈（

π

3

，π），函數中sin2x的最大值為1，最小值為0且取不到，所以f（x）的最大值為

1

4

，最小值為0，所以f（x）的值域為(0，

1

4

]；
（3）由

a

∥

b

得sinα-cosα=0，
∴

2

（

2

2

sinα-

2

2

cosα）=

2

sin（α-

π

4

）=0，
所以α-

π

4

=kπ，解得α=kπ+

π

4

，
∴f（α）=

1

4

sin2α=

1

4

sin（2kπ+

π

2

）=

1

4

sin

π

2

=

1

4

．

點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及三角函數中的恒等變換進行化簡求值，靈活運用平面向量積的坐標表示．要求學生靈活運用所學的知識解決數學問題．