Question

 (14分)如圖，在直三棱柱中，，點是的中點.

（Ⅰ）求證:；

（Ⅱ）求證:平面；

（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為。

【解析】(I)由題目條件可知,又因為,D為AB的中點，所以,所以.

(II)連接BC₁交B₁C交于O點，連接OD，則OD//AC₁,所以平面.

(III)在（I）的基礎上可知就是異面直線與所成角,然后解三角形求角即可.

（Ⅰ）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中

,

∴…………1

又,…………2

………………………3

∴……………………4

（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，…………….5

     ∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴DE//AC₁，…………………………………………7

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，………….8

∴AC₁//平面CDB₁……………………………………9

（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED或其補角為AC₁與B₁C所成的角……..10

    在△CED中，ED=-------------12

   

    ∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為………………………14