【題目】已知直線
與拋物線
相切，且與
軸的交點為
，點
.若動點
與兩定點
所構成三角形的周長為6．
(Ⅰ) 求動點
的軌跡
的方程；
(Ⅱ) 設斜率為
的直線
交曲線
于
兩點，當
，且
位于直線
的兩側時，證明： 
.
【答案】(Ⅰ) 
（
）;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ先由判別式為零可得
的值，再根據三角形周長可得
進而由橢圓定義可得方程；（Ⅱ）設直線
方程
，聯立
得
，根據直線斜率公式及韋達定理利用分析法證明
即可.
試題解析：(Ⅰ) 因為直線
與拋物線
相切，所以方程
有等根，
則
，即
，所以
．
又因為動點
與定點
所構成的三角形周長為6,且
，
所以
根據橢圓的定義，動點
在以
為焦點的橢圓上，且不在
軸上，
所以
，得
，則
，
即曲線
的方程為
（
）.
(Ⅱ)設直線
方程
，聯立
得
，
△=-3
+12>0，所以
， 此時直線
與曲線
有兩個交點
, 
，
設
， 
，則
， 
∵
，不妨取
，
要證明
恒成立，即證明
，
即證
，也就是要證
即證
由韋達定理所得結論可得此式子顯然成立，
所以
成立.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=
（x﹣2）的定義域為集合A，函數
的值域為集合B．
（1）求A∪B；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a﹣1}，且B∩C=C，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
（
），
，
(Ⅰ) 試求曲線
在點
處的切線l與曲線
的公共點個數；(Ⅱ) 若函數
有兩個極值點，求實數a的取值范圍．
（附：當
，x趨近于0時， 
趨向于
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校在一次第二課堂活動中，特意設置了過關智力游戲，游戲共五關．規定第一關沒過者沒獎勵，過
關者獎勵
件小獎品（獎品都一樣）．下圖是小明在10次過關游戲中過關數的條形圖，以此頻率估計概率．
(Ⅰ)估計小明在1次游戲中所得獎品數的期望值；
(Ⅱ)估計小明在3 次游戲中至少過兩關的平均次數；
(Ⅲ)估計小明在3 次游戲中所得獎品超過30件的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為了引導居民合理用水，居民生活用水實行二級階梯式水價計量辦法，具體如下：第一階梯，每戶居民月用水量不超過12噸，價格為4元/噸；第二階梯，每戶居民月用水量超過12噸，超過部分的價格為8元/噸.為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照
， 
，…， 
分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(圖1) (圖2)
（Ⅰ）求頻率分布直方圖中字母
的值，并求該組的頻率；
（Ⅱ）通過頻率分布直方圖，估計該市居民每月的用水量的中位數
的值（保留兩位小數）；
（Ⅲ）如圖2是該市居民張某2016年1～6月份的月用水費
（元）與月份
的散點圖，其擬合的線性回歸方程是
. 若張某2016年1～7月份水費總支出為312元，試估計張某7月份的用水噸數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分10分）
已知橢圓
的左焦點為
，右焦點為
，離心率
.過
的直線交橢圓于
、
兩點，且
的周長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設動直線
與橢圓
有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
.求證：以
為直徑的圓恒過一定點
.并求出點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
，…，第五組
，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這50名學生百米測試成績的中位數和平均值（精確到
）；
（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，列舉所有選取方法，并求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率.
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