Question

公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₄是a₃與a₇的等比中項，S₈=32，則S₁₀=

 

．

Answer 1

分析：設出等差數列的等差d，且d不為0，根據a₄是a₃與a₇的等比中項，S₈=32，利用等比數列的性質和等差數列的前n項和的公式化簡得到關于等差數列首項和公差方程組，求出方程組的解集即可得到首項和公差，然后再利用等差數列的前n項和的公式求出S₁₀即可．

解答：解：設公差為d（d≠0），則有

(a1+2d)(a1+6d)=(a1+3d)2 8a1+ 8•7 2 d=32

，化簡得：

d(3 d+2a1)=0① 2a1+7d=8②

，
因為d≠0，由①得到2a₁+3d=0③，②-③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a₁=-3，
所以方程組的解集為

a1=-3 d=2

，
則S₁₀=10×（-3）+

10×9

2

×2=60．
故答案為：60

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的前n項和的公式及等比數列的通項公式化簡求值，是一道綜合題．本題解法屬基本量法．在解由等差（比）數列中的部分項生成等比（差）數列中部分項問題時，要特別注意新數列中項在新、老數列中的各自屬性及其表示．