Question

f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4在〔-2，1〕上單調遞增，求b取值范圍．

Answer 1

分析：由f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，知f′（x）=3x²-bx+b，由f（x）在〔-2，1〕上單調遞增，知f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，由此能求出參數b的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，
∴f′（x）=3x²-bx+b，
∵f（x）在〔-2，1〕上單調遞增，
∴f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，
設y=3x²-bx-b，則拋物線y=3x²-bx-b的對稱軸方程是x=

b

6

．
①當x=

b

6

≥1時，f′（x）_min=f′（1）=3-b+b＞0，
解得b≥6．
②當x=

b

6

≤-2時，f′（x）_min=f′（-2）=12+2b+b≥0，
解得b∈∅．
③當-2≤

b

6

≤1時，f′（x）_min=

b-b2

12

≥0，
∴0≤b≤6．
綜上所述，所求參數b的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查參數的取值范圍的求法，具體涉及到導數的性質的應用．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．