Question

設max{sinx，cosx}表示sinx與cosx中的較大者，若函數f（x）=max{sinx，cosx}，給出下列四個結論：①當且僅當x=2kπ+π（k∈Z）時，f（x）取得最小值；②f（x）是周期函數；③f（x）的值域是[-1，1]；④當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0； ⑤f（x）以直線x=kπ+

π

4

(k∈Z)為對稱軸，則其中正確結論的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：作出函數在一個周期上的圖象，觀察函數的圖象，分別求解函數的周期，最值及取得最值的條件分別進行驗證即可．

解答：解：作出正弦函數y=sinx與y=cosx在一個周期上的圖象如下圖，取函數的最大值，即為函數f（x）=max{sinx，cosx}，
觀察圖象可知，當且僅當x=2kπ+

5

4

π（k∈Z）時，f（x）取得最小值，故①不正確；
函數以2π為周期的周期函數，故②正確
觀察函數的圖象可得函數的最小值為-

2

2

，故③錯誤
當且僅當2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)時，f（x）＜0，故④正確
f（x）的對稱軸為x=2kπ+

5π

4

(k∈Z)或x=2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即x=kπ+

π

4

(k∈Z)，⑤正確
故正確的結論為：②④⑤
故選C．

點評：本題考查新定義，考查正弦函數與余弦函數的圖象，三角函數的性質的應用，考查了識別圖象的能力及由圖象研究函數的性質．解題的關鍵是要由題中的定義找出函數所對應的圖象，結合圖象求解函數的性質，體會數形結合思想的應用．