Question

如圖，在三棱錐P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，點O、D分別為AC、PC的中點，OP⊥底面ABC.

（1）求證：OD∥平面PAB；

（2）求直線OD與平面PBC所成角的大小.

Answer 1

解析：（1）∵點O，D分別為AC，PC的中點，∴OD∥PA

∴OD∥平面PAB.

（2）連結OB，∵AB⊥BC，O為中點，AB=BC

∴BO⊥AC，又OP⊥底面ABC

∴OA，OB，OP兩兩垂直，故以O為原點，以，，分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系.

令PA=2，則AB=BC=，故A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，），

設面PBC的法向量為m=（x,y,z）

=（-1，-1，0），=（0，-1，）

∵m⊥，∴x+y=0,

∵m⊥,∴-y+z=0,

取z=-,則y=-7,x=7,

故m=(7,-7,-)，

而OD=（，0，），

∴cos(，m)===.

故而直線OD與平面PBC所成角的大小為arcsin.