Question

已知數列中，是的前項和，且是與的等差中項，其中是不等于零的常數.

（1）求； （2）猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明．

 

Answer 1

【答案】

（1），，；（2）見解析.

【解析】(1)先確定,然后要以先求出a₁,進而可以求出a₂,a₃;

(2)根據第（1）求出的結果進行猜想.然后再利用數學歸納法證明時兩個步驟缺一不可. 

解： （1）由題意，                     

當時，，  ∴  ；           

當時，，   ∴ ；     

當時，,    ∴ ； 

  （2）猜想：.                      

   證明：①當時，由（1）可知等式成立；             

   ②假設時等式成立，即：，

   則當時，，

∴，   ∴， 

即時等式也成立.                             

綜合①②知：對任意均成立.