Question

已知函數f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c
（Ⅰ）若函數f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函數f（x）在區間[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區間[0，1]上為單調減函數，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（-1）=0，求得c的值，可得函數解析式，再確定函數f（x）在區間[0，3]上的單調性，即可求得f（x）在區間[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）f（x）是減函數等價于≤0，即恒成立，求出右邊函數的最小值，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）求導函數，可得
∵函數f（x）在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，
∴f′（1）=，∴，∴b=4
又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，∴c=5  
∴f（x）=ln（x+2）-x²+4x-5，∴
由=0得x=
∴當x∈[0，]時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增
當x∈[，3]時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值為ln2+5；
（Ⅱ）因為f（x）是減函數，所以≤0，即恒成立
令t=，則t′=2+，
∴t=，在[0，1]上單調遞增
∴t_min=-
所以當b≤-時，f（x）在區間[0，1]上單調遞減．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查函數的單調性，考查分離參數法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．