Question

給出一列三個命題：
①函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
②若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4，或a≥0；
③若函數y=f（x-1）是偶函數，則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．
其中正確的命題序號是

①②

．

Answer 1

分析：①當c=0時，f（x）=x|x|+bx，用定義可以驗證其為奇函數，反之，若函數為奇函數，由f（-x）=-f（x）恒成立可以得到c=0；②函數值域為R，說明y=x²+ax-a能取遍所有正實數，故△≥0，可解得a的范圍；③根據圖象變換可知函數f（x）的圖象關于直線x=-1對稱．

解答：解：①當c=0時，f（x）=x|x|+bx
∵f（-x）=（-x）|-x|+b（-x）=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數．
反之，∵函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數
∴f（-x）=-f（x）恒成立
∴-x|-x|+b（-x）+c=-x|x|-bx-c恒成立
∴2c=0
即c=0
∴函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0．
②∵函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，
∴函數y=x²+ax-a能取遍一切正實數．
∴△=a²-4×（-a）=a²+4a≥0
解得a≤-4，或a≥0．
③∵函數函數y=f（x-1）的圖象是偶函數，
∴函數圖象關于y軸對稱，
∵函數y=f（x）的圖象可以由函數y=f（x-1）的圖象向左平移一個單位得到
故函數y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱．
故正確的是①②

點評：本題主要考查了函數的性質及函數的圖象、充要條件的判斷，尤其第二個命題容易判斷為△＜0而產生錯誤．