Question

【題目】已知函數f（x）=x3+bx2+cx的導函數圖象關于直線x=2對稱
（1）求b值；
（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c

因為函數f′（x）的圖象關于直線x=2對稱，

所以﹣ =2，于是b=﹣6

（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣6x2+cx，

f′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12，

（�。┊攃≥12時，f′（x）≥0，此時f（x）無極值．

（ii）當c＜12時，f′（x）=0有兩個互異實根x1，x2．

不妨設x1＜x2，則x1＜2＜x2．

當x＜x1時，f′（x）＞0，f（x）在區間（﹣∞，x1）內為增函數；

當x1＜x＜x2時，f′（x）＜0，f（x）在區間（x1，x2）內為減函數；

當x＞x2時，f′（x）＞0，f（x）在區間（x2，+∞）內為增函數．

所以f（x）在x=x1處取極大值，在x=x2處取極小值．

因此，當且僅當c＜12時，函數f（x）在x=x2處存在唯一極小值，所以t=x2＞2．

于是g（t）的定義域為（2，+∞）

【解析】（1）函數f（x）=x3+bx2+cx的導函數的圖象關于直線x=2對稱，則求出f′（x）得到一個二次函數，利用x=﹣ =2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函數的對稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．