Question

【題目】已知各項均為正數的等比數列{an}的首項a1=2，Sn為其前n項和，若5S1 ， S3 ， 3S2成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=log2an ， cn= ，記數列{cn}的前n項和為Tn ． 若對于任意的n∈N* ， Tn≤λ（n+4）恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設{an}的公比為q．

∵5S1，S3，3S2成等差數列，∴2S3=5S1+3S2．

即 ，化簡得2q2﹣q﹣6=0，

解得：q=2或 ．由已知，q=2．∴

（2）解：由bn=log2an得 ．

∴ ．

∴ ．

∴

∵ ，當且僅當 即n=2時等號成立，

∴ ．

∴實數λ的取值范圍是

【解析】（1）由5S1 ， S3 ， 3S2成等差數列，利用性質建立方程，再用首項與公比將此方程轉化為關于公比的等式，解出公比的值得出通項；（2）依次求出bn、cn ， 根據所得出的形式，裂項求和即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和等比數列的基本性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列．