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函數f(x)=+lnx(a≠0),
(1)求函數y=f(x)的遞增區間;
(2)當a=1時,求函數y=f(x)在[,4]上的最大值和最小值;
(3)求證:
(1)解:,
①若a<0,f′(x)>0對一切x>0恒成立,∴f(x)的增區間為(0,+∞);
②若a>0,則當時,f′(x)<0,函數f(x)單調遞減;
時,f′(x)>0,函數f(x)單調遞增;
故當a<0時,f(x)的增區間為(0,+∞),當a>0時,f(x)的增區間為
(2)解:當a=1時,,
當x變化時,f(x),f′(x)的變化情況如下表:

,

。
(3)證明:當a=1時,由(2)知f(x)≥f(1)=0,
,即(當且僅當x=1時取等號),
①令,則有(此時等號不成立),
即有,
∴當k=n+1時,,
當k=n+2時,,
……
當k=3n時,,
累加可得:
②同理令,則有(此時等號不成立),
即有,
∴當k=n時,
當k=n+1時,,
當k=3n-1時,,
累加可得:,
即:
故:。
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(理)已知函數f(x)=ln(ax+2)+
1x
(a>0)
(Ⅰ)若f(x)在x=2處取得極值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=ln(
3
cosx-sinx)
的定義域為
(-
3
+2kπ,
π
3
+2kπ)k∈Z
(-
3
+2kπ,
π
3
+2kπ)k∈Z

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
(x≥0,a為正實數).
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)已知函數f(x)=ln(1+x)的導函數是y′=
1
1+x
,函數f(x)=ln(1+x)-
ax
1-x
(a∈R)

(I)當a=1,-1<x<1時,求函數f(x)的最大值;
(II)求函數f(x)的單調區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=ln(
x2+x+1
-
x2-x+1
)
的值域為
 

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