Question

在正六邊形ABCDEF中，AB=1，

AP

=x

AB

+y

AF

，則x+y的取值范圍是

[1，4]

．

Answer 1

分析：通過建立坐標系，寫出點的坐標及直線方程，設動點P的坐標寫出動點P的可行域；寫出向量的坐標，據已知條件中的向量等式得到α，β與x，y的關系代入點P的可行域得α，β的可行域，利用線性規劃求出α+β的取值范圍．

解答：解：建立如圖坐標系，∵AB=1，則A（0，0），B（1，0），C(

3

2

， 

3

2

)，D(1，

3

)，E(0，

3

)，F(-

1

2

， 

3

2

)．
則CD的方程：

3

x+ y-2

3

=0；BC的方程：

3

•x- y-

3

=0；EF 的方程：

3

x- y+

3

=0；BF的方程：x+

3

y-1=0．
設

AP

=(α，β)，
因P是五邊形BCDEF內的動點，則可行域為 

3 α+β-2 3 ≤ 0 3 α-β- 3 ≤0 3 α-β+ 3 ≥0 α+ 3 β-1≥0 0≤β≤ 3

．
由 

AB

=(1，0)，

AF

=(-

1

2

， 

3

2

)，所以(α，β)=x(1，0)+y(-

1

2

， 

3

2

)．
得

α=x- y 2 β= 3 2 y

，可得   

3 (x- y 2 )+ 3 y 2 -2 3 ≤ 0 3 (x- y 2 )- 3 y 2 - 3 ≤0 3 (x- y 2 )- 3 y 2 + 3 ≥0 (x- y 2 )+ 3 • 3 y 2 -1 ≥0 0≤ 3 y 2 ≤ 3

，化簡可得 

x≤2 x-y≤1 y-x≤1 x+y≥1 0≤y≤2

，
由線性規劃的知識解得1≤x+y≤4．
故答案為：[1，4]．

點評：本題考查通過建立直角坐標系將問題轉化為線性規劃問題，通過線性規劃求出范圍．