Question

【題目】過點的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點、，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）當點異于點時，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出橢圓方程，當直線過橢圓右焦點時，寫出直線的方程，并和橢圓聯立方程，求得點的坐標，根據兩點間距離公式即可求得線段的長；（2）設出直線的方程，并和橢圓聯立方程，求得點的坐標，并求出點坐標，寫出直線與直線的方程，并解此方程組，求得點的坐標，代入即可證明結論.

（1）由已知得，得，

橢圓的方程為，

橢圓的右焦點為，

此時直線的方程為，

由，解得，

；

（2）當直線與軸垂直時與題意不符，所以直線與軸不垂直，即直線的斜率存在，

設直線的方程為

代入橢圓的方程，化簡得，解得，

代入直線的方程，得，

所以，的坐標為，

又直線的方程為，直線方程為，

聯立解得，即，

而的坐標為，

，

即為定值.