Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，f（0）=1，g（x）是定義在R上的奇函數，且g（x）=f（x-1），則f（2011）+f（2012）+f（2013）=

1

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）是定義在R上的偶函數，g（x）是定義在R上的奇函數，運用函數奇偶性的定義得到f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），然后結合g（x）=f（x-1），靈活變形后求出函數f（x）的周期，再根據g（x）是定義在R上的奇函數，得g（0）=0，從而得到f（1）=0，最后把要求的值轉化為f（0）和f（1）的值．

解答：解：因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以f（x）=f（-x），g（x）是定義在R上的奇函數，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），取x=x+1，所以f（x）=g（x+1），又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
則f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函數f（x）是以4為周期的周期函數．
因為g（x）是定義在R上的奇函數，所以g（0）=0，由g（x）=f（x-1），取x=0，得：f（1）=f（-1）=g（0）=0，又f（0）=1，
所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（-1）+f（0）+f（1）=0+1+0=1．
故答案為1．

點評：本題考查了函數的奇偶性和周期性，考查了如何通過替代自變量的值求函數的周期，體現了數學轉化思想，考查了學生的抽象思維能力，此題是中檔題．