Question

已知函數f（x）=x²-2ax，x∈[-1，1]
（1）若函數f（x）的最小值為g（a），求g（a）；
（2）判斷并證明函數g（x）的奇偶性；
（3）若函數h（x）=g（x）-x-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法可得f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]，分別討論a＜-1，-1≤a≤1和a＞1時，函數f（x）的最小值g（a），綜合討論結果，可得答案．
（2）根據（1）中g（a）的解析式，利用函數奇偶性的定義，判斷g（-x）與g（x）的關系，可判斷函數g（x）的奇偶性；
（3）函數h（x）=g（x）-x-m有兩個零點，即方程h（x）=g（x）-x-m=0有兩個不等實根，即方程g（x）=x+m有兩個不等實根，即函數g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個交點，作出函數g（x）的圖象與直線y=x+m，數形結合可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]
當a＜-1時，f（x）在[-1，1]上單調遞增，故g（a）=f_min（x）=f（-1）=1+2a；
當-1≤a≤1時，g(a)=fmin(x)=f(a)=-a2；
當a＞1時，f（x）在[-1，1]上單調遞減，故g（a）=f_min（x）=f（1）=1-2a
故g(a)=

1+2a，a＜-1 -a2，-1≤a≤1 1-2a，a＞1

…（4分）
（2）由（1）知g(x)=

1+2x，x＜-1 -x2，-1≤x≤1 1-2x，x＞1

，g（x）是偶函數，證明如下：
g（x）的定義域為R關于原點對稱    …（5分）
當x＜-1時，g（x）=1+2x，-x＞1，則g（-x）=1-2（-x）=1+2x=g（x）
當-1≤x≤1時，g（x）=-x²，-1≤-x≤1，則g（-x）=-（-x）²=-x²=g（x）
當x＞1時，g（x）=1-2x，-x＜-1，則g（-x）=1+2（-x）=1-2x=g（x）
故對任意x∈R都有g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函數    …（8分）
（3）函數h（x）=g（x）-x-m有兩個零點?方程h（x）=g（x）-x-m=0有兩個不等實根?方程g（x）=x+m有兩個不等實根?函數g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個交點
作出函數g（x）的圖象與直線y=x+m，如圖所示．
當拋物線y=-x²與直線y=x+m只有一個交點時
由

y=x+m y=-x2

得x²+x+m=0，∴△=1-4m=0⇒m=

1

4

，此時直線為y=x+

1

4

由圖可知把直線y=x+

1

4

向下平移時，m的值減少，函數g（x）的圖象與直線y=x+m有兩個交點
故m∈(-∞，

1

4

)…（12分）

點評：本題主要考查二次函數在閉區間上的最值的求解，解題中的分類討論思想的應用的根據是比較對稱軸與區間的位置關系．