Question

【題目】已知，是橢圓T.上的兩點，且A點位于第一象限.過A做x軸的垂線，垂足為點C，點D滿足，延長交T于點.

（1）設直線，的斜率分別為，.

（i）求證：；

（ii）證明：是直角三角形；

（2）求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（i）見解析（ii）見解析（2）

【解析】

（1）（i）求出點D的坐標，用、表示出、即可得證；（ii）利用，都在T上可將兩點坐標代入橢圓方程，兩式相減并通過變形證明，由（i）可推出，則，得證；（2）直線AE的方程代入橢圓方程整理得關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出，由求出面積的表達式，利用換元法及對勾函數的單調性即可求得面積的最大值.

（1）（i）由題意可得，所以，

又，因此.

（ii）因為，都在T上，

所以，，從而，

即.

又，，所以，

由（i），則，即.

故是直角三角形.

（2）由（1）得，：，

將直線代入橢圓T，并整理可得，

所以.

，

因為，所以.

令，則，等號當且僅當時成立.

從而，

因為在上單調遞增，所以時，取得最小值，

故時，取得最大值.