Question

)如圖，三棱錐P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB。

   （1）求證：AB⊥平面PCB；

   （2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。

Answer 1

（1）見解析

（2）

解析:

（1）解：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB。

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB。

又PC∩CD＝C，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴AB⊥平面PCB。

   （2）解法一：

取AB的中點E，連結CE、DE。

∵PC＝AC＝2，∴CE⊥PA，CE＝

∵CD⊥平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得DE⊥PA。

∴∠CED為二面角C—PA—B的平面角。

由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC＝

   （2）解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，過點B作直線l∥PA，

則l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直線為x、y、

z軸建立空間直角坐標系（如圖）。…………6分

設平面PAB的法向量為

得 …………8分

設平面PAC的法向量為，

解得    …………10分

…………11分

    …………12分

   （2）解法三：

∵CD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一個法向量。

取AC中點F，∵AB＝BC＝，∴BF⊥AC，

又PC⊥平面ABC，有平面PAC⊥平面ABC，

∴BF⊥平面PAC，∴是平面PAC的一個法向量。

  …………7分

    …………9分

  …………10分