Question

已知函數f（x）=e^x-e^-x（x∈R），
（1）判斷函數f（x）的奇偶性與單調性；
（2）是否存在實數t，使得不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0對一切x都成立？若存在，求t，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據g（x）為增函數，h（x）為減函數，g（x）-h（x）是增函數，然后根據奇偶性的定義進行判定即可；
（2）假設存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立，轉化成

(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min  =0

進行求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=ex-

1

ex

∴ f(x)單調遞增

又∵f(-x)=e-x-ex=-f(x)

∴f（x）是奇函數
（2）假設存在∵f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

∴  f(x-t)≥-f(x2-t2)=f(t2-x2)恒成立 ∴x-t≥t2-x2 ∴(t+ 1 2 )2≤ (x+ 1 2 ) 2 min =0∴  t=- 1 2

即存在t=-

1

2

使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0恒成立

點評：本題主要考查了函數的奇偶性和單調性的綜合應用，同時考查了轉化的思想，屬于基礎題．