Question

（08年天津南開區質檢一） （12分） 已知如圖，在四棱錐P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=。

（1）證明BC⊥平面PDC；

（2）求二面角D―PB―C的正切值；

（3）若，求證：平面PAB⊥平面PBC。

Answer 1

解析：本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。

（1）解：由PD⊥平面ABCD，平面ABCD，得PD⊥BC

由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC

又，則BC⊥平面PDC（3分）

（2）解：取PC中點E，連DE，則DE⊥PC

由BC⊥平面PDC，平面PBC

得平面PDC⊥平面PBC  ∴ DE⊥平面PBC

作EF⊥PB于F，連DF

由三垂線定理，得DF⊥PB

則∠DFE為二面角D―PB―C的平面角

在中，求得

在中，求得

在中，

即二面角D―PB―C的正切值為（8分）

（3）證：取PB中點G，連AG和EG

由三角形中位線定理得GE//BC，

由已知，AD//BC，

∴ AD=GE，AD//GE

則四邊形AGED為平行四邊形

∴ AG//DE

由（2）已證出DE⊥平面PBC

∴ AG⊥平面PBC

又平面PAB    ∴ 平面PAB⊥平面PBC（12分）