Question

【題目】如圖，已知是橢圓的左、右焦點，橢圓的短軸長為，點是橢圓上的一點，過點作軸的垂線交橢圓于另一點（不過點），且的周長的最大值為8.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過焦點，在橢圓上取兩點，連接，與軸的交點分別為，過點作橢圓的切線，當四邊形為菱形時，證明：直線.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據短軸長求得，由周長最小值可求得，進而得橢圓的標準方程.

（2）設，，，，求得過點的切線的方程，確定其斜率；而當四邊形為菱形時，設直線和的方程，聯立橢圓后由韋達定理表示出.由斜率公式表示出直線的斜率，即可證明直線.

（1）由題意可得，

的周長，

當且僅當經過點時，等號成立，

故，即，

所以橢圓的標準方程為.

（2）證明：不妨設，，，，

根據點斜式，可設過Q的切線方程為，

則，化簡可得，

因為相切，所以，

化簡可得，

解得，

由題意可知，的斜率均存在，

故當四邊形為菱形時.

設直線，

聯立化簡得.

由韋達定理有，則，

同理可得，，

直線的斜率，

代入化簡得，

所以，又因為兩直線不可能重合，

所以直線.