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已知，函數（其中為自然對數的底數）．

  （Ⅰ）求函數在區間上的最小值；

  （Ⅱ）設數列的通項，是前項和，證明：．

【解析】本試題主要考查導數在研究函數中的運用，求解函數給定區間的最值問題，以及能結合數列的相關知識，表示數列的前n項和，同時能構造函數證明不等式的數學思想。是一道很有挑戰性的試題。

 

【答案】

解：(1)          

若時,   函數在區間是減函數  ;

時  函數在區間是減函數,是增函數 ;

綜上所述  略

(2)由（1）可知，時，函數在定義域的最小值為0，

       在上成立

 令得 

 令

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）的圖象是自原點出發的一條折線，當n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數b≠1），設數列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x1、x2和xn的表達式；
（2）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；
（3）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）的圖象是自原點出發的一條折線，當n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數b≠1），設數列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x1、x2和xn的表達式；
（2）計算
limn→∞
xn；
（3）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x
n
m
，其中m，n是取自集合{1，2，3}的兩個不同值，則該函數為偶函數的概率為
1
3
1
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數的圖像是自原點出發的一條折線，當時，該圖像是斜率為的線段（其中正常數），設數列由定義.

Ⅰ.求、和的表達式；

Ⅱ.求的表達式，并寫出其定義域；

Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.

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科目：高中數學 來源：2014屆江蘇省蘇州市高三暑假自主學習測試文科數學試卷（解析版） 題型：填空題

已知函數,其中是取自集合的兩個不同值，則該函數為偶函數的概率為_____．

 

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