Question

【題目】已知數列為等比數列，,公比為，且，為數列的前項和.

（1）若，求；

（2）若調換的順序后能構成一個等差數列，求的所有可能值；

（3）是否存在正常數，使得對任意正整數，不等式總成立？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3）.

【解析】

（1）運用等比數列的通項公式，解方程可得公比，求和公式計算即可得到所求值；

（2）由等比數列的通項公式和等差數列中項的性質，解方程即可得到所求值；

（3）假設存在正常數c,q，使得對任意的正整數n，不等式總成立，由，即為，等價為，討論公比q，結合題意，推得存在，求得q的范圍.

（1）因為所以，所以或（舍去）．

所以

（2）若或成等差數列，則，解得或1（舍去）；若或成等差數列，

則，解得或1（舍去）；若成等差數列，

則，解得（舍去）.綜上，

（3）由，可得，故等價于恒成立.

因為 所以得到當時，不可能成立.

當時，另，得，解得

因為，所以即當時，，所以不可能成立.

當時，由，即，所以

即當時，不成立.當時，，

所以當時恒成立，

綜上，存在正常數，使得對任意正整數不等式總成立，的取值范圍為