Question

已知數列和滿足，，數列的前和為.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求證：；
（3）求證：對任意的有成立．

Answer 1

解：（1）由得代入得
整理得，-----------------------------------------------------1分
∵否則，與矛盾
從而得,  ----------------------------------------------------------3分
∵
∴數列是首項為1，公差為1的等差數列
∴，即．---------------------------------------------------------------4分
（2）∵
∴＝
＝---------------------------------------------------------6分
證法1：∵
＝＝
∴．--------------------------------------------------------------------------8分
證法2：∵   ∴
∴
∴．----------------------------------------------------------------------------8分
（3）用數學歸納法證明：
①當時，不等式成立；-----------9分
②假設當（，）時，不等式成立，即
，那么當時

----------------------------------------------------------------------12分

＝
∴當時，不等式成立
綜①②知對任意的,不等式成立．--------------------------------------------------------