Question

【題目】動點到定點的距離之比它到直線的距離小1，設動點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于兩個不同的點，過點分別作曲線的切線，且二者相交于點.

（1）求曲線的方程；

（2）求證：；

（3）求 的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ) 見解析；(Ⅲ)4．

【解析】

試題分析:（1）根據拋物線定義確定曲線的方程；（2）根據導數求得切線斜率，利用點斜式寫出切線方程，解方程組可得交點坐標，最后利用向量數量積為零證明結論（3）三角形高為，根據拋物線定義求焦點弦長，根據三角形面積公式得關于斜率函數關系式，最后解函數最值得結論

試題解析：(Ⅰ)解：由已知，動點P在直線上方，條件可轉化為動點P到定點F(0，1)的距離等于它到直線距離

∴動點P的軌跡是以F(0，1)為焦點，直線為準線的拋物線

故其方程為．

(Ⅱ)證：設直線AB的方程為：

由得：

設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則

由得：，∴

∴直線AM的方程為：　①

直線BM的方程為：�、�

①－②得：，即

將代入①得：

∴

故∴

∴

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，點M到AB的距離

∵

∴

∴當k = 0時，△ABM的面積有最小值4．