Question

數列{a_n}的前n項的和S_n=2a_n-1（n∈N^*），數列{b_n}滿足：b₁=3，S_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n}為等比數列；
（2）求數列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=a_n+b_n得，a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），可得遞推式，根據等比數列定義及遞推式可判斷{a_n}為等比數列；
（2）利用累加法可求得b_n，然后利用分組求和及等差數列等比數列的前n項和公式可求；

解答：解：（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），
∴a_n+1=2a_n，
又a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0，
因此數列{a_n}為公比是2、首項是1的等比數列；
（2）易得bn+1-bn=2n-1，∴bn-bn-1=2n-2，bn-1-bn-2=2n-3，…，b2-b1=20=1，
以上各式相加得，bn+1-b1=1+2+3+…+2n-1=2ⁿ-1，
∴bn+1=2n+2，∴bn=2n-1+2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+

1-2n

1-2

=2ⁿ+2n-1（n∈N*）．

點評：本題考查等差數列通項公式、等比數列判斷及數列求和，屬中檔題．