Question

已知函數．

(Ⅰ) 求的單調區間；

(Ⅱ) 求所有的實數，使得不等式對恒成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當a≤0時， f (x)的增區間是(－∞，＋∞)；當a＞0時，f (x)的增區間是(－∞，－]、[，＋∞)，f (x)的減區間是[－，]；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本小題首先求函數的導數，利用導數的正負求解原函數的單調區間，注意參數的范圍，通過分情況討論可以分別得出函數的增減區間；（Ⅱ）根據第一問可知函數在區間上的單調性，進而可以求得函數在區間上的的最大值和最小值，然后讓，即可解得參數的取值范圍.

試題解析：(Ⅰ)  f ′(x)＝3x²－3a．

當a≤0時，f ′(x)≥0恒成立，故f (x)的增區間是(－∞，＋∞)．

當a＞0時，由f ′(x)＞0，得    x＜－ 或 x＞，

故f (x)的增區間是(－∞，－]和[，＋∞)，f (x)的減區間是[－，]．     7分

(Ⅱ) 當a≤0時，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上遞增，且f (0)＝1，此時無解．

當0＜a＜3時，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上遞減，在[，]上遞增，

所以f (x)在[0，]上的最小值為f ()＝1－2a．

所以

即

所以a＝1．

當a≥3時，由(Ⅰ)知f (x)在[0，]上遞減，又f (0)＝1，所以

f ()＝3－3a＋1≥－1，

解得a≤1＋，此時無解．

綜上，所求的實數a＝1．     15分

考點：1.導數判斷單調性；2.解不等式.