Question

設、為直角坐標平面內x、y軸正方向上的單位向量，若向量，，（x，y∈R，m≥2），且．
（1）求動點M（x，y）的軌跡方程？并指出方程所表示的曲線；
（2）已知點A（0，1}，設直線l：y=x-3與點M的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量的表達式，可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（-m，0），F₂（m，0）的距離之差4．討論m的值，根據雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線，進而根據c和a，求得b，則其方程可得．
（2）設將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系利用向量數量積的坐標公式即可求得m值，從而解決問題．
解答：解：（1）∵向量，，（x，y∈R，m≥2），且，
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（-m，0），F₂（m，0）的距離之差4．
由定義得：
當m=2時，M的軌跡是一條射線，方程為：
y=0，（x≥2）…（2分）
當m＞2時，M的軌跡是一支雙曲線，方程為：
 -=1（x≥2）． …（6分）
（2）∵直線l與M點軌跡交于B、C兩點，
∴M的軌跡方程為：
 -=1（x≥2）．
由⇒（m²-5）x²+12x-36-4（m²-4）=0，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=，，
∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+16=，
∴m²=9，m=±3，
∵m≥2，∴m=3．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，