Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面為等腰梯形，，.平面平面，四邊形為菱形，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

方法一（幾何法）：（1）通過證明，證得平面，由此證得；（2）作出直線與平面所成角，利用兩角差的正切公式，求得線面角的正切值，再轉化為正弦值.

方法二（向量法）：（1）取中點，連接，證得底面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算，證得.（2）由（1）計算出直線的方向向量和平面的法向量，由此計算出與平面所成角的正弦值.

方法一、

（1）連接、，取中點，連接、.

∵等腰梯形中，，.

∴，.

又∵在菱形中，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，.

∴底面，∴，

又∵，相交，∴平面，

∴.

（2）取中點，連接，，，，相交于點，連接，顯然平面平面.

∵平面，∴平面平面，∴平面平面，交線為，∴為與平面所成角.

∵，，

∴，∴由解得.∴與平面所成角的正弦值為.

方法二、

（1）取中點，連接.

∵四邊形為菱形，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

以為原點如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，.

∴，

，

∴，∴.

（2），設平面的法向量為，則，取，.

∴與平面所成角的正弦值為.