Question

【題目】設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，線段的中點為，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）先）設，，代入拋物線方程得到，，兩式作差，結合直線的斜率以及與的中點的縱坐標，即可求出，得到拋物線方程；

（2）先設，，，表示出，，再根據，得到的關系，設出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，表示出直線的斜率，進而得到直線的方程，同理得到直線的方程，聯立兩直線方程求出，再由，即可求出結果.

解：（1）設，.

又、都在拋物線上，

即所以，.

由兩式相減得，

直線的斜率為，.

兩邊同除以，且由已知得，

所以，即.

所以拋物線的方程為.

（2）設，，.

因為

所以，所以，

設直線的斜率為，則直線，

由消得.

由，得，即.

所以直線，

同理得直線.

聯立以上兩個方程解得

又，

所以，

所以.