Question

拋物線y²＝2px（p＞0）上縱坐標為－p的點M到焦點的距離為2．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點，且線段MA，MB，MC 與x軸交點的橫坐標依次組成公差為1的等差數列，若△AMB的面積是△BMC面積的，求直線MB的方程．

 

Answer 1

【答案】

（本題15分）:（Ⅰ）解：設， 則，，

由拋物線定義，得所以．              ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．

設，， （均大于零）  ……6分

，， 與軸交點的橫坐標依次為．

（1）當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去．……7分

（2）與軸不垂直時，，

設直線的方程為，即，

令得2，同理2，2，                ……10分

因為依次組成公差為1的等差數列，

所以組成公差為2的等差數列．　　　　　　　　　    ……12分

設點到直線的距離為，點到直線的距離為，

因為，所以=2，

所以　　     　……14分

得，即，所以，

所以直線的方程為：              　　       ……15分

解法二：（Ⅰ）同上．      （Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．

由題意，設與軸交點的橫坐標依次為

設， （均大于零）．                   ……6分

（1）當軸時，直線的方程為，則，不合題意，舍去． ……7分

（2）與軸不垂直時，

設直線的方程為，即，

同理直線的方程為，

由　得　

則 所以，                         ……12分

同理，設點到直線的距離為，點到直線的距離為，     因為，所以=2，

所以  ……14分

化簡得，即，

所以直線的方程為：              　　       ……15分

【解析】略