Question

已知曲線C：y=3x-x³及點P（2，2），過點P向曲線C引切線，則切線的條數為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：求函數的導數，設切點為M（a，b），利用導數的幾何意義，求切線方程，利用點P（2，2）在切線上，求出切線條數即可．

解答：解：∵y=3x-x³，
∴y'=f'（x）=3-3x²，
∵P（2，2）不知曲線C上，
∴設切點為M（a，b），則b=3a-a³，
f'（a）=3-3a²
則切線方程為y-（3a-a³）=（3-3a²）（x-a），
∵P（2，2）在切線上，
∴2-（3a-a³）=（3-3a²）（2-a），即2a³-6a²+4=0，
∴a³-3a²+2=0，即a³-a²-2a²+2=0，
∴（a-1）（a²-2a-2）=0，
解得a=1或a=1±

3

，
∴切線的條數為3條，
故選D．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及導數的基本運算，考查學生的運算能力．注意點P不在曲線上，所以必須單獨設出切點．