Question

已知函數f(x)=

a

3

x3+bx2+4cx是奇函數，函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處切線的斜率為-6，且當x=2時，函數f（x）有極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）是奇函數，得出f（-x）=-f（x），從而求出b值；
（2）由函數f（x）在x=2處取得極值，且在x=1處的切線的斜率為-6，求導，可得±1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=-6，解方程組即可求得，a，c的值，從而求得f（x）的解析式；
（3）把（2）確定的解析式，令導函數等于0求出x的值，根據x的值分區間討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間．

解答：解：（1）由函數f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x），∴b=0
（2）由f(x)=

a

3

x3+4cx，有f'（x）=ax²+4c且f'（1）=-6，f'（2）=0
∴

a+4c=-6 4a+4c=0

解得  

a=2 c=-2

故f(x)=

2

3

x3-8x
（3）∵f(x)=

2

3

x3-8x
∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f'（x）＜0得-2＜x＜2
∴函數f（x）的單調增區間為（-∞，-2]，[2，+∞）；單調減區間為[-2，2]

點評：此題主要考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調性，是一道中檔題．