Question

【題目】已知，函數（其中是自然對數的底數，）．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若當時都有成立，求整數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將代入函數的解析式，求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）由結合參變量分離法得出對任意的恒成立，構造函數，利用導數求出函數在上的最小值，即可得出整數的最大值.

（1）當時，，，根據題意可得，，

故曲線在點處的切線方程；

（2）由時都有成立，可得，

得，

構造函數，則，

，

令，，

則，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

則，

又，，，，

所以，存在，使得，得.

當時，，即，此時，函數單調遞減；

當時，，即，此時，函數單調遞增.

所以，，

構造，其中，則，

所以，函數在區間上單調遞減，則，

又對任意的恒成立，因此，整數的最大值為.