Question

已知x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導f′(x)=

a

1+x

+2x-10，再由x=3是函數f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個極值點即f′(3)=

a

4

+6-10=0求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）確定f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調區間．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（-1，1）內單調增加，在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0，可得f（x）的極大值為f（1），極小值為f（3）一，再由直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點則須有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．

解答：解：（Ⅰ）因為f′(x)=

a

1+x

+2x-10
所以f′(3)=

a

4

+6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）f′(x)=

2(x2-4x+3)

1+x

當x∈（-1，1）∪（3，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（1，3）時，f′（x）＜0
所以f（x）的單調增區間是（-1，1），（3，+∞）f（x）的單調減區間是（1，3）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（-1，1）內單調增加，
在（1，3）內單調減少，在（3，+∞）上單調增加，且當x=1或x=3時，f′（x）=0
所以f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21
因此f（16）=16²-10×16＞16ln2-9=f（1）f（e^-2-1）＜-32+11=-21＜f（3）
所以在f（x）的三個單調區間（-1，1），（1，3），（3，+∞）直線y=b有y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（3）＜b＜f（1）
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．

點評：此題重點考查利用求導研究函數的單調性，最值問題，函數根的問題；，熟悉函數的求導公式，理解求導在函數最值中的研究方法是解題的關鍵，數形結合理解函數的取值范圍．