Question

如圖，四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的直觀圖（圖1）和三視圖（圖2），底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分別為A₁D₁、AD的中點．
（Ⅰ）由三視圖判斷平面AA₁D₁D與平面ABCD的位置關系（只需作出判斷）
（Ⅱ）求證：BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）求二面角A₁-AB-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖直接判斷平面AA₁D₁D與平面ABCD的位置即可．
（Ⅱ）直接利用平面與平面的垂直，說明直線與平面垂直，然后利用直線與平面的判定定理證明BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）利用三垂線定理作出二面角的平面角，通過在天津求出有關數據，然后求解二面角A₁-AB-D的正切值．

解答：解：（Ⅰ）由俯視圖可知，側面AA₁D₁D在底面的射影是一條線段，
所以平面AA₁D₁D與平面ABCD垂直．
（Ⅱ）證明：因為底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，
M、N分別為A₁D₁、AD的中點．
所以NB⊥AD，則NB⊥BC，
由（Ⅰ）可知平面AA₁D₁D⊥平面ABCD，
所以N₁N⊥平面ABCD，BC?平面ABCD垂直，
所以BC⊥N₁N，又N₁N∩NB=N，
所以BC⊥平面MNBB₁
（Ⅲ）過A₁作A₁O⊥平面ABCD于O，過O作OP⊥AB于P，
連結A₁P，由三垂線定理可知，∠A₁PO為二面角A₁-AB-D的平面角，
底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分別為A₁D₁、AD的中點．
所以AO=

1

2

，OP=

3

4

，所以所求二面角的正切值為：

1 2

3 4

=

2 3

3

．

點評：本題考查三視圖的應用，直線與平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查計算能力，空間想象能力．